Question

函數(shù)f（x）=1g

x2+1

|x|

（x≠0，x∈R），有下列命題：
①f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；  
②f（x）的最小值是2；
③f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)；   
④f（x）沒有最大值．
其中正確命題的序號是

①④

．（請?zhí)钌纤�有正確命題的序號）

Answer 1

分析：①f（-x）=1g

x2+1

|x|

=f（x），函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②利用基本不等式，可得

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

≥2，從而f（x）=1g

x2+1

|x|

≥lg2；
③考查函數(shù)g（x）=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

的單調(diào)性，即可得到結(jié)論；
④由③知，f（x）沒有最大值．

解答：解：①f（-x）=1g

x2+1

|x|

=f（x），∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，故①正確；
②

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

≥2，∴f（x）=1g

x2+1

|x|

≥lg2，∴f（x）的最小值是lg2，故②不正確；
③函數(shù)g（x）=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

在（-∞，-1），（0，1）上是減函數(shù)，在（-1，0），（1，+∞）上是增函數(shù)，故函數(shù)f（x）=1g

x2+1

|x|

在（-∞，-1），（0，1）上是減函數(shù)，在（-1，0），（1，+∞）上是增函數(shù)，故③不正確；
④由③知，f（x）沒有最大值，故④正確
故答案為：①④

點評：本題考查命題的真假判斷，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．