精英家教網(wǎng)如圖,已知三棱錐A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB中點,D為PB中點,且△PMB為正三角形.
(1)求證:DM∥平面APC;
(2)求證:平面ABC⊥平面APC;
(3)若BC=4,AB=20,求三棱錐D-BCM的體積.
分析:(1)要證DM∥平面APC,只需證明MD∥AP(因為AP?面APC)即可.
(2)在平面ABC內(nèi)直線AP⊥BC,BC⊥AC,即可證明BC⊥面APC,從而證得平面ABC⊥平面APC;
(3)因為BC=4,AB=20,求出三棱錐的高,即可求三棱錐D-BCM的體積.
解答:證明:(I)由已知得,MD是△ABP的中位線
∴MD∥AP∵MD?面APC,AP?面APC
∴MD∥面APC;(4分)

(II)∵△PMB為正三角形,D為PB的中點
∴MD⊥PB,∴AP⊥PB又∵AP⊥PC,PB∩PC=P
∴AP⊥面PBC(6分)∵BC?面PBC∴AP⊥BC
又∵BC⊥AC,AC∩AP=A∴BC⊥面APC,(8分)
∵BC?面ABC∴平面ABC⊥平面APC;(10分)

(III)由題意可知,MD⊥面PBC,
∴MD是三棱錐D-BCM的高,
VM-DBC=
1
3
Sh=10
7
.(14分)
點評:本題考查直線與平面的平行,三棱錐的體積,平面與平面垂直的判定,是中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知三棱錐A-PBC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB中點,D為PB中點,且AB=2MP.
(1)求證:DM∥平面APC;
(2)求證:平面ABC⊥平面APC.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知三棱錐A-BCD的底面是等邊三角形,三條側棱長都等于1,且∠BAC=30°,M,N分別在棱AC和AD上.
(1)將側面沿AB展開在同一個平面上,如圖②所示,求證:∠BAB′=90°.
(2)求BM+MN+NB的最小值.
(3)當BM+MN+NB取得最小值時,證明:CD∥平面BMN

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知三棱錐A-BCD的棱長都相等,E,F(xiàn)分別是棱AB,CD的中點,則EF與BC所成的角是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知三棱錐A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB的中點,D為PB的中點,且△PMB為正三角形.
(1)求證:DM∥平面APC;
(2)若BC=4,AB=20,求三棱錐D-BCM的體積.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案