如圖,已知三棱錐A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB的中點,D為PB的中點,且△PMB為正三角形.
(1)求證:DM∥平面APC;
(2)若BC=4,AB=20,求三棱錐D-BCM的體積.
分析:(1)可由三角形的中位線定理得到線線平行,進(jìn)而得到線面平行.
(2)先證明MD⊥底面BCD,進(jìn)而可計算出體積.
解答:(1)證明:∵M(jìn)為AB的中點,D為PB的中點,∴MD為△PAB的中位線,∴MD∥AP.
而AP?平面PAC,MD?平面PAC,
∴MD∥平面PAC.
(2)解:∵△PMB為正三角形,PD=DB,∴MD⊥PB.
∵M(jìn)D∥AP,AP⊥PC,∴MD⊥PC.
又PC∩PB=P,∴MD⊥平面PBC.即MD為三棱錐M-BCD的高.
由AB=20,∴MB=10,BD=5,∴MD=5
3

在Rt△PCB中,由勾股定理得PC=
102-42
=2
21

于是S△BCD=S△BCP×
1
2
=
1
2
×
1
2
×2
21
×4
=2
21

∴V三棱錐D-BCM=V三棱錐M-BCD=
1
3
×2
21
×
5
3
=10
7
點評:利用三角形的中位線定理證明線線平行是證明線面平行常用的方法之一.先證明線面垂直是求體積的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知三棱錐A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB中點,D為PB中點,且△PMB為正三角形.
(1)求證:DM∥平面APC;
(2)求證:平面ABC⊥平面APC;
(3)若BC=4,AB=20,求三棱錐D-BCM的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知三棱錐A-PBC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB中點,D為PB中點,且AB=2MP.
(1)求證:DM∥平面APC;
(2)求證:平面ABC⊥平面APC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知三棱錐A-BCD的底面是等邊三角形,三條側(cè)棱長都等于1,且∠BAC=30°,M,N分別在棱AC和AD上.
(1)將側(cè)面沿AB展開在同一個平面上,如圖②所示,求證:∠BAB′=90°.
(2)求BM+MN+NB的最小值.
(3)當(dāng)BM+MN+NB取得最小值時,證明:CD∥平面BMN

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知三棱錐A-BCD的棱長都相等,E,F(xiàn)分別是棱AB,CD的中點,則EF與BC所成的角是( 。

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