Question

設(shè)復(fù)數(shù)z₁=2sinθ+cosθ（＜θ＜）在復(fù)平面上對應(yīng)向量，將按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z₂=r（cosφ+isinφ），則tanφ=    ．

Answer 1

【答案】分析：先把復(fù)數(shù)z₁ 化為三角形式，再根據(jù)題中的條件求出復(fù)數(shù)z₂，將求出的復(fù)數(shù) z₂和已知的復(fù)數(shù) z₂作對照，可得cos∅=cos（ π+β ），sin∅=sin（ π+β），可求tan∅，再把tanβ= 代入化簡．
解答：解：∵復(fù)數(shù)z₁=2sinθ+icosθ （ 0＜θ＜） 的模為  =，
∴復(fù)數(shù)z₁= （  +i ）= （cosβ+i sinβ）
其中，cosβ=，sinβ=，β為銳角，∴tanβ=，
∴z₂ =•（cos（β-）+i sin（β-））
=•（cos（2π+β-）+i sin（2π+β-））=•（cos（ π+β ）+isin（ π+β）），

又已知復(fù)數(shù) z₂=r（cos∅+isin∅），∴cos∅=cos（ π+β ），sin∅=sin（ π+β），
∴tan∅===tan（ +β）=tan（ +β）=== 
=，
故答案為：．
點評：本題考查復(fù)數(shù)的三角形式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，以及利用棣莫弗定理進行復(fù)數(shù)三角形式的運算．