已知橢圓的一個焦點為,過點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為;為橢圓上的四個點。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若,,求四邊形的面積的最大值和最小值.
(Ⅰ)  ;(Ⅱ) 2,

試題分析:(Ⅰ)依題意可得橢圓C的一個焦點為,在代入點即可得得到一個關(guān)于的等式從而可求出的值,即可得橢圓的標準方程.
(Ⅱ) 由于所以直線都過F點,從而又因為所以直線與直線相互垂直.所以四邊形的面積為.故關(guān)鍵是求出線段的長度.首先要分類存在垂直于軸的情況,和不垂直于軸的情況兩種.前者好求.后者通過假設(shè)一條直線聯(lián)立橢圓方程寫出弦長的式子,類似地寫出另一條所得到的弦長.通過利用基本不等式即可求得面積的范圍.從而再結(jié)合垂直于軸的情況,求出最大值與最小值.
試題解析:(Ⅰ)由題橢圓C的一個焦點為故可設(shè)橢圓方程為,過焦點且與長軸垂直的直線方程為,設(shè)此直線與橢圓交于A,B兩點則,又,所以,又,聯(lián)立求得,,故橢圓方程為.
(Ⅱ)由,知,點共線,點共線,
即直線經(jīng)過橢圓焦點。又知,
(i)當斜率為零或不存在時,
(ii)當直線存在且不為零時,可設(shè)斜率為,則由知,的斜率為
所以:直線方程為:。直線方程為:
將直線方程代入橢圓方程,消去并化簡整理可得
,
設(shè)坐標為,則…………①
從而,將①代入化簡得
,
換成可得,
所以=.
,因為,所以,故,所以,當且僅當時,.綜上(i)(ii)可知,即四邊形PQMN的最大面積為2,最小面積為.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標系中,已知過點的橢圓的右焦點為,過焦點且與軸不重合的直線與橢圓交于,兩點,點關(guān)于坐標原點的對稱點為,直線,分別交橢圓的右準線,兩點.

(1)求橢圓的標準方程;
(2)若點的坐標為,試求直線的方程;
(3)記兩點的縱坐標分別為,,試問是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

橢圓與雙曲線有公共的焦點,過橢圓E的右頂點作任意直線l,設(shè)直線l交拋物線于M、N兩點,且
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點,點P關(guān)于原點O的對稱點為A、關(guān)于x軸的對稱點為Q,線段PQ與x軸相交于點C,點D為CQ的中點,若直線AD與橢圓E的另一個交點為B,試判斷直線PA,PB是否相互垂直?并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:的兩個焦點是F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)(c>0)。
(I)若直線與橢圓C有公共點,求的取值范圍;
(II)設(shè)E是(I)中直線與橢圓的一個公共點,求|EF1|+|EF2|取得最小值時,橢圓的方程;
(III)已知斜率為k(k≠0)的直線l與(II)中橢圓交于不同的兩點A,B,點Q滿足   ,其中N為橢圓的下頂點,求直線l在y軸上截距的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C的左、右焦點分別為,橢圓的離心率為,且橢圓經(jīng)過點
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)線段是橢圓過點的弦,且,求內(nèi)切圓面積最大時實數(shù)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,長軸長為,且點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是橢圓長軸上的一個動點,過作方向向量的直線交橢圓、兩點,求證:為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的方程為,雙曲線的左、右焦點分別為的左、右頂點,而的左、右頂點分別是的左、右焦點。
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線與橢圓及雙曲線都恒有兩個不同的交點,且L與的兩個焦點A和B滿足(其中O為原點),求的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線,、是雙曲線的左右頂點,是雙曲線上除兩頂點外的一點,直線與直線的斜率之積是,
求雙曲線的離心率;
若該雙曲線的焦點到漸近線的距離是,求雙曲線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知拋物線上一點P到y(tǒng)軸的距離為5,則點P到焦點的距離為(    )
A.5B.6C.7D.8

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案