Question

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=

1

2

CD=2，點(diǎn)M在線段EC上且不與E，C重合．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M是EC中點(diǎn)時(shí)，求證：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐M-BDE的體積為

4

3

時(shí)，求平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（I）取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN，由三角形中位線定理，結(jié)合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，再由線面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，利用三棱錐M-BDE的體積為

4

3

，求出M的坐標(biāo)，求出平面BDM的法向量、平面ABF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN
在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點(diǎn)，所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，
所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN
又因?yàn)锳N?平面ADEF，且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）解：以直線DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），
則∵三棱錐M-BDE的體積為

4

3

，
∴

1

3

S△DEM•AD=

4

3

，
∴S_△DEM=2，
∵S_△DEC=4，
∴M（0，2，1），
設(shè)平面BDM的法向量

n1

=（x，y，z），∵D（0，0，0），B（2，2，0），
∴

2x+2y=0 2y+z=0

∴取

n1

=（（1，-1，2），
∵平面ABF的法向量

n2

=（1，0，0），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

6

=

6

6

，
∴平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，熟練掌握利用向量知識(shí)解決立體幾何問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．