Question

設(shè)拋物線y²=4px（p＞0）的準(zhǔn)線與x軸的交點為M，過點M作直線l交拋物線于A，B兩點．
（1）求線段AB中點的軌跡方程；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于N（x₀，0），求證：x₀＞3p；
（3）若直線l的斜率依次取p，p²，…，pⁿ時，線段AB的垂直平分線與x軸的交點依次為N₁，N₂，…，N_n，當(dāng)時0＜p＜1，求的值．

Answer 1

（1）解：拋物線的準(zhǔn)線為x=-p，∴M（-p，0），
設(shè)l：y=k（x+p）（k≠0），代入y²=4px得k²x²+2（k²-2）px+k²p²=0
由△=4（k²-2）²p²-4k⁴p²＞0得-1＜k＜1（k≠0）
設(shè)線段AB的中點為Q（x，y），則
消去k，得y²=2p（x+p）（x＞p），即為所求AB中點的軌跡方程； （4分）
（2）證明：線段AB的垂直平分線方程為．
令y=0，得，∵0＜k²＜1，∴x₀＞3p； （8分）
（3）解：當(dāng)斜率時，，
∵，
∴，
∴是以為首項，以p²為公比的等比數(shù)列，且0＜p²＜1
故．（12分）
分析：（1）設(shè)出l的方程代入y²=4px，確定k的范圍，利用韋達(dá)定理，確定線段AB的中點坐標(biāo)，消參，即可求得AB中點的軌跡方程；
（2）求出線段AB的垂直平分線方程，令y=0，得，從而可得結(jié)論；
（3）確定是以為首項，以p²為公比的等比數(shù)列，且0＜p²＜1，即可求得結(jié)論．
點評：本題考查軌跡方程，考查等比數(shù)列的證明與求和，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．