Question

設(shè)拋物線y²=4px（p＞0）的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)M作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)．若直線l的斜率依次取p，p²，…，pⁿ時(shí)，線段AB的垂直平分線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)依次為N₁，N₂，…，N_n，當(dāng)0＜p＜1時(shí)，求S=

1

|N1N2|

+

1

|N2N3|

+…+

1

NnNn+1

+…的值．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)直線l的方程為y=pⁿ（x+p），與拋物線方程聯(lián)解算出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（p(

2

p2n

-1)，

2p

pn

），從而得到AB中垂直方程，然后在此方程中令y=0，得到得當(dāng)斜率kn=pn時(shí)N_n的橫坐標(biāo)為(

2

p2n

+1)p．由此代入算出

1

|NnNn+1|

關(guān)于p的表達(dá)式，證出{

1

NnNn+1

}成公比為p²＜1的等比數(shù)列，利用無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式即可算出S的值．

解答：解：∵拋物線y²=4px（p＞0）準(zhǔn)線為x=-p
∴M（-p，0），可得直線l的方程為y=pⁿ（x+p）
與拋物線y²=4px消去x，得y²-

4p

pn

y+4p²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
可得y₁+y₂=

4p

pn

，y₁y₂=4p²，所以x₁+x₂=

1

4p

（y₁²+y₂²）=p(

4

p2n

-2)
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），即（p(

2

p2n

-1)，

2p

pn

）
因此，線段AB的垂直平分線為y-

2p

pn

=

-1

pn

[x-p(

2

p2n

-1)]
令y=0，得x_n=(

2

p2n

+1)p，得當(dāng)斜率kn=pn時(shí)，Nn((

2

p2n

+1)p，0)．
因此，|N_nN_n+1|=|x_n+1-x_n|=|(

2

p2n+2

+1)p-(

2

p2n

+1)p|=

2(1-p2)

p2n+1

(0＜p＜1)，
所以

1

|NnNn+1|

=

p2n+1

2(1-p2)

=

p3

2(1-p2)

•(p2)n-1，
所以{

1

NnNn+1

}是以

p3

2(1-p2)

為首項(xiàng)，以p²為公比的等比數(shù)列，且0＜p²＜1，
故S=

1

|N1N2|

+

1

|N2N3|

+…+

1

NnNn+1

+…=

p3 2(1-p2)

1-p2

=

p3

2(1-p2)2

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線的斜率與等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式等知識(shí)，屬于中檔題．本題綜合了幾何與代數(shù)中的主干知識(shí)，是一道不錯(cuò)的綜合題型．