【題目】已知函數(shù) ,直線l:x﹣ty﹣2=0.
(1)若直線l與曲線y=f(x)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),求公共點(diǎn)橫坐標(biāo)的值;
(2)若0<m<n,m+n≤2,求證:f(m)>f(n).
【答案】
(1)解:由 ,得f′(x)= (x>0),
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
根據(jù)直線l的方程x=ty+2,可得l恒過點(diǎn)(2,0),
①當(dāng)t=0時(shí),直線l:x=2垂直x軸,與曲線y=f(x)相交于一點(diǎn),即交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2;
②當(dāng)t≠0時(shí),設(shè)切點(diǎn)A(x0,y0),直線l可化為 ,斜率k= =f′(x0)= ,
又直線l和曲線y=f(x)均過點(diǎn)A(x0,y0),則滿足 ,
∴ = = = = ,兩邊約去t后,
可得 ,化簡得 ,
解得: ,
綜上所述,該公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2和 ;
(2)證明:①若0<m<n≤1時(shí),由(1)可知,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
∴f(m)>f(n);
②若0<m<1,n>1時(shí),欲證f(m)>f(n),由題意m+n≤2,由(1)可知f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
只需證f(m)>f(2﹣m)對m∈(0,1)恒成立即可.
設(shè)函數(shù)φ(m)=f(m)﹣f(2﹣m),則 ,
即 ,
設(shè) ,則 ,
易知x∈(0,2)時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,x∈(2,+∞)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)m∈(0,1)時(shí),有2﹣m∈(1,2),且滿足2﹣m>m,故h(m)﹣h(2﹣m)>0,
即 ,又m﹣1<0,則φ'(m)<0,
∴φ(m)在(0,1)上單調(diào)遞減,有φ(m)>φ(1)=0,
即f(m)>f(2﹣m),故f(m)>f(n).
綜上,f(m)>f(n).
【解析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,由直線方程可知直線過定點(diǎn),然后分t=0和t≠0分類求解A的橫坐標(biāo);(2)若0<m<n≤1時(shí),由(1)可知,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,可得f(m)>f(n);若0<m<1,n>1,把證明f(m)>f(n)轉(zhuǎn)化為證f(m)>f(2﹣m)對m∈(0,1)恒成立即可.構(gòu)造函數(shù)φ(m)=f(m)﹣f(2﹣m),利用兩次求導(dǎo)加以證明.
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,∠BCC1= ,AB=BB1=2,BC=1,D為CC1中點(diǎn).
(1)求證:DB1⊥平面ABD;
(2)求二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下四個(gè)命題中其中真命題個(gè)數(shù)是( ) ①為了了解800名學(xué)生的成績,打算從中抽取一個(gè)容量為40的樣本,考慮用系統(tǒng)抽樣,則分段的間隔k為40;
②線性回歸直線 = x+ 恒過樣本點(diǎn)的中心( , );
③隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0),若在(﹣∞,1)內(nèi)取值的概率為0.1,則在(2,3)內(nèi)的概率為0.4;
④若事件M和N滿足關(guān)系P(M∪N)=P(M)+P(N),則事件M和N互斥.
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣k)ex+k,k∈Z,e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)k=0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),不等式f(x)+5>0恒成立,求k的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,動點(diǎn)P在其表面上運(yùn)動,且|PA|=x,把點(diǎn)的軌跡長度L=f(x)稱為“喇叭花”函數(shù),給出下列結(jié)論: ① ;② ;③ ;④
其中正確的結(jié)論是: . (填上你認(rèn)為所有正確的結(jié)論序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,幾何體ABCDE中,△ABC是正三角形,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F(xiàn)、G分別為EB和AB的中點(diǎn).
(1)求證:FD∥平面ABC;
(2)求二面角B﹣FC﹣G的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若向量 ,在函數(shù) 的圖象中,對稱中心到對稱軸的最小距離為 ,且當(dāng) 的最大值為1.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】變量x,y滿足約束條件 ,若使z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個(gè),則實(shí)數(shù)a的取值集合是( )
A.{﹣3,0}
B.{3,﹣1}
C.{0,1}
D.{﹣3,0,1}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù) 的定義域是( )
A.[﹣2,2]
B.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)
C.(﹣2,2)
D.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
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