Question

【題目】已知函數(shù) ．

（1）求函數(shù) 的最大值；

（2）設(shè) ，且 ，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最大值。

（2）由（1），把當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，g(x)＜1等價(jià)于設(shè)f(x)＞x，構(gòu)造新函數(shù)h(x)＝f(x)－x，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可求解。

（1）由題意，求得．

當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，＞0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，＜0，f(x)單調(diào)遞減．

所以f(x)的最大值為f(0)＝0．

（2）由（1）知，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，g(x)＜0＜1．

當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，g(x)＜1等價(jià)于設(shè)f(x)＞x．

設(shè)h(x)＝f(x)－x，則．

當(dāng)x∈(－1，－0)時(shí)，0＜－x＜1，0＜＜1，則0＜＜1，

從而當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，＜0，h(x)在(－1，0)單調(diào)遞減．

當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，h(x)＞h(0)＝0，即g(x)＜1．綜上，總有g(x)＜1．