如圖,已知橢圓的方程為,雙曲線的兩條漸近線為、.過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直線,使,又與交于點(diǎn),設(shè)與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為、.
(1)若與的夾角為,且雙曲線的焦距為,求橢圓的方程;
(2)求的最大值.
(1);(2).
【解析】
試題分析:(1)先確定雙曲線的漸近線方程,根據(jù)條件兩條漸近線的夾角為,確定與的等量關(guān)系,再結(jié)合的值,確定與的值,最終確定橢圓的方程;(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,并設(shè)得到,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到,,再由點(diǎn)在橢圓上這一條件將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程,通過(guò)化簡(jiǎn)得到與離心率之間的關(guān)系式,結(jié)合基本不等式得到的最大值.
試題解析:(1)因?yàn)殡p曲線方程為,
所以雙曲線的漸近線方程為.
因?yàn)閮蓾u近線的夾角為且,所以.
所以,所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004575686094337/SYS201403200458470328544400_DA.files/image025.png">,所以,
所以,.
所以橢圓的方程為;
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004575686094337/SYS201403200458470328544400_DA.files/image029.png">,所以直線與的方程為,其中.
因?yàn)橹本的方程為,
聯(lián)立直線與的方程解得點(diǎn).
設(shè),則.
因?yàn)辄c(diǎn),設(shè)點(diǎn),則有.
解得,.
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,
所以.
即.
等式兩邊同除以得,,
所以,
所以當(dāng),即時(shí),取得最大值.
故的最大值為.
考點(diǎn):1.雙曲線的漸近線方程;2.橢圓的方程;3.三點(diǎn)共線的轉(zhuǎn)化
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2 |
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2 |
PB |
QB |
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如圖,已知橢圓的方程為,是它的下頂點(diǎn),是右焦點(diǎn),的延長(zhǎng)線與橢圓及其右準(zhǔn)線分別相交于兩點(diǎn),若點(diǎn)恰好為中點(diǎn),則此橢圓的離心率為_(kāi)_________
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