精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,
2
),且離心率等于
3
2
,過點(diǎn)M(0,2)且斜率為k的直線l與橢圓相交于P,Q不同兩點(diǎn)(與點(diǎn)B不重合),橢圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)B.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若
PB
QB
=0
,求直線l的方程.
分析:(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,由題設(shè)條件求出b2和a2,由此可以求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立消去y得(1+4k2)x2+16kx+8=0,依題意有△=(16k)2-4×(1+4k2)×8>0,由此解得k>
1
2
k<-
1
2
.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),再由根與系數(shù)和關(guān)系和
PB
QB
=0
,能夠求出直線l的方程.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
(1分)
因?yàn)樗囊粋(gè)頂點(diǎn)為A(0,
2
),所以b2=2,由離心率等于
3
2

a2-b2
a2
=
3
2
,解得a2=8,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
8
+
y2
2
=1
(4分)
(Ⅱ)由已知設(shè)直線l的方程為y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立消去y得(1+4k2)x2+16kx+8=0,
依題意有△=(16k)2-4×(1+4k2)×8>0,解得k>
1
2
k<-
1
2
(2分)
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-
16k
1+4k2
,
x1x2=
8
1+4k2
,由
PB
QB
=0

(1+k2)x1x2+2(k-
2
)(x1+x2)+12=0
(2分)
于是(1+k2
8
1+4k2
+2(k-
2
)×(-
16k
1+4k2
)+12=0
,
整理得6k2+8
2
k+5=0
,
解得k=-
2
2
k=-
5
2
6
,又-
5
2
6
<-
2
2
<-
1
2
,
k=-
2
2
時(shí),y=-
2
2
x+2
此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合,舍去,所以直線l的方程是y=-
5
2
6
x+2
(3分)
點(diǎn)評:本題考查直線和圓錐軸線的位置關(guān)系,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,長軸A1A2的長為4,左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M,|MA1|:|A1F1|=2:1.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線l1:x=m(|m|>1),P為l1上的動(dòng)點(diǎn),使∠F1PF2最大的點(diǎn)P記為Q,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)(用m表示).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)求m的取值范圍;
(3)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
3
2
,且經(jīng)過點(diǎn)M(4,1).直線l:y=x+m交橢圓于A,B兩不同的點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)|AB|=
12
5
2
時(shí),求m的值;
(3)若直線l不過點(diǎn)M,求證:直線MA,MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,
2
),且離心率為
3
2

( I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
( II)過點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓相交于不同兩點(diǎn)P、Q,點(diǎn)N在線段PQ上.設(shè)
|
MP
|
|
PN
|
=
|
MQ
|
|
NQ
|
=λ,試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•馬鞍山二模)如圖,已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),直線l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)(A、B與M不重合).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)當(dāng)MA⊥MB時(shí),求m的值.

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