Question

如圖，在長方體中，是棱的中點，點在棱上，且（為實數(shù)）.

（1）當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值的大��；

（2）試問：直線與直線能否垂直？請說明理由.

 

 

Answer 1

（1）．（2）不可能；理由祥見解析．

【解析】

試題分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，則可求出向量的坐標(biāo)，從而就可求出平面D1AC的法向量，然后再利用向量的夾角公式，即可求得直線EF與平面D1AC所成角的正弦值；

（2）假設(shè)EF⊥EA，則•＝0，由此可得方程，判斷方程有無解，有解則說明直線與直線能垂直，無解則說明直線與直線不能垂直．

試題解析：分別以DA，DC，DD1為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，

則A（2，0，0），C（0，4，0），D1（0，0，2），E（0，，2），F(xiàn)（1，4，0），則＝（2，0，?2），＝（0，4，?2）

（1）當(dāng)λ＝時，E（0，1，2），=（1，3，-2），設(shè)平面D1AC的法向量為＝（x，y，z），則

由解得取，則，因為，，

，所以

因為，所以是銳角，是直線與平面所成角的余角，

所以直線與平面所成角的正弦值為．

⑵假設(shè)，則，因為，

，所以，

化簡，得，因為，所以該方程無解，所以假設(shè)不成立，即直線不可能與直線垂直．

考點：1.用空間向量求直線與平面的夾角；2.空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.