【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(2ax+1)+ ﹣x2﹣2ax(a∈R).
(1)若x=2為f(x)的極值點,求實數(shù)a的值;
(2)若y=f(x)在[3,+∞)上為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(3)當a=﹣ 時,方程f(1﹣x)= 有實根,求實數(shù)b的最大值.
【答案】
(1)解: = .…(1分)
因為x=2為f(x)的極值點,所以f'(2)=0.
即 ,解得a=0.
又當a=0時,f'(x)=x(x﹣2),從而x=2為f(x)的極值點成立
(2)解:因為f(x)在區(qū)間[3,+∞)上為增函數(shù),
所以 在區(qū)間[3,+∞)上恒成立.①當a=0時,f'(x)=x(x﹣2)≥0在[3,+∞)上恒成立,所以f(x)在[3,+∞)上為增函數(shù),故a=0符合題意.
②當a≠0時,由函數(shù)f(x)的定義域可知,必須有2ax+1>0對x≥3恒成立,故只能a>0,
所以2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2)≥0對x∈[3,+∞)上恒成立.
令g(x)=2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2),其對稱軸為 ,
因為a>0所以 ,從而g(x)≥0在[3,+∞)上恒成立,只要g(3)≥0即可,
因為g(3)=﹣4a2+6a+1≥0,
解得 .
因為a>0,所以 .
由①可得,a=0時,符合題意;
綜上所述,a的取值范圍為[0, ]
(3)解:若 時,方程 x>0 可化為, .
問題轉(zhuǎn)化為b=xlnx﹣x(1﹣x)2+x(1﹣x)=xlnx+x2﹣x3在(0,+∞)上有解,
即求函數(shù)g(x)=xlnx+x2﹣x3的值域.
以下給出兩種求函數(shù)g(x)值域的方法:
方法1:因為g(x)=x(lnx+x﹣x2),令h(x)=lnx+x﹣x2(x>0),
則 ,
所以當0<x<1,h′(x)>0,從而h(x)在(0,1)上為增函數(shù),
當x>1,h′(x)<0,從而h(x')在(1,+∞上為減函數(shù),
因此h(x)≤h(1)=0.
而x>1,故b=xh(x)≤0,
因此當x=1時,b取得最大值0.
方法2:因為g(x)=x(lnx+x﹣x2),所以g'(x)=lnx+1+2x﹣3x2.
設p(x)=lnx+1+2x﹣3x2,則 .
當 時,p'(x)>0,所以p(x)在 上單調(diào)遞增;
當 時,p'(x)<0,所以p(x)在 上單調(diào)遞減;
因為p(1)=0,故必有 ,又 ,
因此必存在實數(shù) 使得g'(x0)=0,
∴當0<x<x0時,g′(x)<0,所以g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減;
當x0<x<1,g′(x)>0,所以,g(x)在(x0,1)上單調(diào)遞增;
又因為 ,
當x→0時,lnx+ <0,則g(x)<0,又g(1)=0.
因此當x=1時,b取得最大值0
【解析】(1)先對函數(shù)求導,由x=2為f(x)的極值點,可得f'(2)=0,代入可求a(2)由題意可得 在區(qū)間[3,+∞)上恒成立,①當a=0時,容易檢驗是否符合題意,②當a≠0時,由題意可得必須有2ax+1>0對x≥3恒成立,則a>0,從而2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2)≥0對x∈[3,+∞0上恒成立.考查函數(shù)g(x)=2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求(3)由題意可得 .問題轉(zhuǎn)化為b=xlnx﹣x(1﹣x)2+x(1﹣x)=xlnx+x2﹣x3在(0,+∞)上有解,即求函數(shù)g(x)=xlnx+x2﹣x3的值域. 方法1:構造函數(shù)g(x)=x(lnx+x﹣x2),令h(x)=lnx+x﹣x2(x>0),對函數(shù)h(x)求導,利用導數(shù)判斷函數(shù)h(x)的單調(diào)性,進而可求
方法2:對函數(shù)g(x)=x(lnx+x﹣x2)求導可得g'(x)=lnx+1+2x﹣3x2 . 由導數(shù)知識研究函數(shù)p(x)=lnx+1+2x﹣3x2 , 的單調(diào)性可求函數(shù)g(x)的零點,即g'(x0)=0,從而可得函數(shù)g(x)的單調(diào)性,結(jié)合 ,可知x→0時,lnx+ <0,則g(x)<0,又g(1)=0可求b的最大值
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為響應市政府“綠色出行”的號召,王老師每個工作日上下班由自駕車改為選擇乘坐地鐵或騎共享單車這兩種方式中的一種出行.根據(jù)王老師從2017年3月到2017年5月的出行情況統(tǒng)計可知,王老師每次出行乘坐地鐵的概率是0.4,騎共享單車的概率是0.6.乘坐地鐵單程所需的費用是3元,騎共享單車單程所需的費用是1元.記王老師在一個工作日內(nèi)上下班所花費的總交通費用為X元,假設王老師上下班選擇出行方式是相互獨立的.
(I)求X的分布列和數(shù)學期望 ;
(II)已知王老師在2017年6月的所有工作日(按22個工作日計)中共花費交通費用110元,請判斷王老師6月份的出行規(guī)律是否發(fā)生明顯變化,并依據(jù)以下原則說明理由.
原則:設 表示王老師某月每個工作日出行的平均費用,若 ,則有95%的把握認為王老師該月的出行規(guī)律與前幾個月的出行規(guī)律相比有明顯變化.(注: )
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的最小值為3,且.
求函數(shù)的解析式;
(2)若偶函數(shù)(其中),那么, 在區(qū)間上是否存在零點?請說明理由.
【答案】(1)(2)存在零點
【解析】試題分析:(1)待定系數(shù)法,己知函數(shù)類型為二次函數(shù),又知f(-1)=f(3),所以對稱軸是x=1,且函數(shù)最小值f(1)=3,所設函數(shù),且,代入f(-1)=11,可解a。
(2)由題意可得,代入,由和根的存在性定理, 在區(qū)間(1,2)上存在零點。
試題解析:(1)因為是二次函數(shù),且
所以二次函數(shù)圖像的對稱軸為.
又的最小值為3,所以可設,且
由,得
所以
(2)由(1)可得,
因為,
所以在區(qū)間(1,2)上存在零點.
【點睛】
(1)對于求己知類型函數(shù)的的解析式,常用待定系數(shù)法,由于二次函數(shù)的表達式形式比較多,有一般式,兩點式,頂點式,由本題所給條件知道對稱軸與頂點坐標,所以設頂點式。
(2)對于判定函數(shù)在否存在零點問題,一般解決此類問題的三步曲是:①先通過觀察函數(shù)圖象再估算出根所在的區(qū)間;②根據(jù)方程根的存在性定理證明根是存在的;③最后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)證明根是唯一的.本題給了區(qū)間,可直接用根的存在性定理。
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】《中華人民共和國個人所得稅》規(guī)定,公民月工資、薪金所得不超過3500元的部分不納稅,超過3500元的部分為全月稅所得額,此項稅款按下表分段累計計算:
全月應納稅所得額 | 稅率 |
不超過1500元的部分 | |
超過1500元至4500元的部分 | |
超過4500元至9000元的部分 |
(1)已知張先生的月工資,薪金所得為10000元,問他當月應繳納多少個人所得稅?
(2)設王先生的月工資,薪金所得為,當月應繳納個人所得稅為元,寫出與的函數(shù)關系式;
(3)已知王先生一月份應繳納個人所得稅為303元,那么他當月的工資、薪金所得為多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:函數(shù)
求函數(shù)的周期T與單調(diào)增區(qū)間.
函數(shù)與的圖象有幾個公共交點.
設關于x的函數(shù)的最小值為,試確定滿足的a的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某港口水的深度y(m)是時間t(0≤t≤24,單位:h)的函數(shù),記作y=f(t).下面是某日水深的數(shù)據(jù):
t/h | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
y/m | 10 | 13 | 10 | 7 | 10 | 13 | 10 | 7 | 10 |
經(jīng)長期觀察,y=f(t)的曲線可以近似地看成函數(shù)的圖象.一般情況下,船舶航行時,船底離海底的距離為5m或5m以上時認為是安全的(船舶?繒r,船底只需不碰海底即可).
(1)求y與t滿足的函數(shù)關系式;
(2)某船吃水深度(船底離水面的距離)為6.5m,如果該船希望在同—天內(nèi)安全進出港,請問該船在什么時間段能夠安全進港?它同一天內(nèi)最多能在港內(nèi)停留多少小時?(忽略進 出港所需的時間).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】王先生家住 A 小區(qū),他工作在 B 科技園區(qū),從家開車到公司上班路上有 L1 , L2 兩條路線(如圖),L1 路線上有 A1 , A2 , A3 三個路口,各路口遇到紅燈的概率均為 ;L2 路線上有 B1 , B2 兩個路.各路口遇到紅燈的概率依次為 , .若走 L1 路線,王先生最多遇到 1 次紅燈的概率為;若走 L2 路線,王先生遇到紅燈次數(shù) X 的數(shù)學期望為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】袋內(nèi)裝有6個球,每個球上都記有從1到6的一個號碼,設號碼為n的球重克,這些球等可能地從袋里取出(不受重量、號碼的影響).
(1)如果任意取出1個球,求其重量大于號碼數(shù)的概率;
(2)如果不放回地任意取出2個球,求它們重量相等的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小王、小張兩位同學玩投擲正四面體(每個面都為等邊三角形的正三棱錐)骰子(骰子質(zhì)地均勻,各面上的點數(shù)分別為)游戲,規(guī)則:小王現(xiàn)擲一枚骰子,向下的點數(shù)記為,小張后擲一枚骰子,向下的點數(shù)記為,
(1)在直角坐標系中,以為坐標的點共有幾個?試求點落在直線上的概率;
(2)規(guī)定:若,則小王贏,若,則小張贏,其他情況不分輸贏,試問這個游戲公平嗎?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校為了了解該校學生對于某項運動的愛好是否與性別有關,通過隨機抽查110名學生,得到如下2×2的列聯(lián)表:
喜歡該項運動 | 不喜歡該項運動 | 總計 | |
男 | 40 | 20 | 60 |
女 | 20 | 30 | 50 |
總計 | 60 | 50 | 110 |
由公式K2= ,算得K2≈7.61
附表:
p(K2≥k0) | 0.025 | 0.01 | 0.005 |
k0 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
參照附表,以下結(jié)論正確是( )
A.有99.5%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”
B.有99.5%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”
C.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”
D.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”
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