Question

如圖所示，已知三菱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)均為2，側(cè)菱B₁B₁與底面ABC所成角為

π

3

，當(dāng)側(cè)面ABB₁A₁垂直于底面ABC，平面B₁AC垂直于底面ABC時(shí)，三菱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)當(dāng)側(cè)面ABB₁A₁垂直于底面ABC，平面B₁AC垂直于底面ABC時(shí)，側(cè)面B₁BCC₁，與側(cè)面A₁ACC₁面積相等，
得出sin∠B₁BC=

15

4

，利用平行四邊形的面積公式求解側(cè)面B₁BCC₁，與側(cè)面A₁ACC₁面積，運(yùn)用平行四邊形的面積公式求解：S 側(cè)面B1BA1A=4×2×

3

2

=4

3

．

解答： 解：∵當(dāng)側(cè)面ABB₁A₁垂直于底面ABC，平面B₁AC垂直于底面ABC時(shí)，
∴側(cè)面B₁BCC₁，與側(cè)面A₁ACC₁面積相等，
∵已知三菱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)均為2，
側(cè)菱B₁B₁與底面ABC所成角為

π

3

∴B₁A⊥面ABC，
∴∠B₁BA=60°，
在△B₁BA中，AB=2，
∴B₁A=2

3

，BB₁=4，
∵cos∠B₁BC=cos∠B₁BA•cos∠CAB=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
∴sin∠B₁BC=

15

4

，
∴S 側(cè)面B1BA1A=4×2×

3

2

=4

3

，
S 側(cè)面B1BCC1=S 側(cè)面A1ACC1=4×2×

15

4

=2

15

，
∴三菱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面積4

3

+4

15

，
故答案為：4

3

+4

15

，

點(diǎn)評(píng)：本題考察了特殊的斜三棱錐的側(cè)面積的求解，關(guān)鍵是判斷側(cè)面的特性，邊長(zhǎng)的求解，屬于中檔題．