Question

（2008•武漢模擬）如圖，在橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上且在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，△PF₁F₂的重心為G，內(nèi)心為I．
（1）求證：IG∥F₁F₂；
（2）已知A為橢圓C的左頂點(diǎn)，直線l過右焦點(diǎn)F₂與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若AM，AN的斜率k₁，k₂滿足k1+k2=-

1

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）欲證IG∥F₁F₂，因?yàn)镕₁，F(xiàn)2在x軸上，只需證明I，G的縱坐標(biāo)相等即可，利用重心的坐標(biāo)公式求出G點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再借助三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，利用面積相等求出I的縱坐標(biāo)，比較大小即可．
（2）設(shè)出直線l的方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理求出x₁+x₂，x₁x₂．代入k₁+k₂中，化簡即可求出k的值，得到直線l的方程．

解答：解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀）（y₀＞0），而G為△PF₁F₂
的重心，故G(

xo

3

，

y0

3

)而I為△PF₁F₂的內(nèi)心．
設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為rS△PF1F2=

1

2

|F1F2|•|y0|=

1

2

(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)•r
于是

1

2

•2c•|y0|=

1

2

(2a+2c)•r，
又a=2，c=1，y₀＞0
則r=

1

3

y0，從而I點(diǎn)縱坐標(biāo)為

y0

3

從而IG∥F₁F₂•
（2）若直線l斜率不存在，顯然k₁+k₂=0不合題意．
若直線l的斜率存在，過F₂（1，O）的設(shè)直線方程為y=k（x-1），直線和橢圓交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）將y=k（x-1）代入3x²+4y²=12中得到：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
由韋達(dá)定理可知：

x1+x2= 8k2 3+4k2 x1x2= 4k2-12 3+4k2

又kAM+kAN=

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=k(

x1-1

x1+2

+

x2-1

x2+2

)=k[2-3(

1

x1+2

+

1

x2+2

)]
而

1

x1+2

+

1

x2+2

=

x1+x2+4

x1x2+2(x1+x2)+4

=

8k2+4(3+4k2)

4k2-12+16k2+4(3+4k2)

=

2k2+1

3k2

從而kAM+kAN=k(2-3.

2k2+1

3k2

)=-

1

k

=-

1

2

即k=2
故所求直線MN方程為：y=2（x-1）．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，注意韋達(dá)定理的應(yīng)用．