Question

（2008•武漢模擬）已知a＞0，過M（a，0）任作一條直線交拋物線y²=2px（p＞0）于P，Q兩點，若

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

為定值，則a=（　　）

• A．

  2

  p
• B．2p
• C．

  1

  2

  p
• D．p

Answer 1

分析：利用直線的參數(shù)方程來求，先設(shè)直線PQ的參數(shù)方程，用參數(shù)表示P，Q兩點的坐標，求MP，MQ的長度，再代入

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

，如為定值，則化簡后與參數(shù)α無關(guān)，就可求出a的值．

解答：解：設(shè)直線PQ的參數(shù)方程為x=a+tcosα，y=tsinα
則P，Q點的坐標分別為：（a+t₁cosα，t₁sinα），（a+t₂cosα，t₂sinα），
∴|MP|²=（a+t₁cosα-a）²+（t₁sinα）²=t₁²cos²α+t₁²sin²α=t₁²
|MQ|²=（a+t₂cosα-a）²+（t₂sinα）²=t₂²cos²α+t₂²sin²α=t₂²
又∵P，Q在拋物線y²=2px，
∴（t₁sinα）²=2p（a+t₁cosα）
（t₂sinα）²=2p（a+t₂cosα）
∴sin²αt₁²-2pcosαt₁-2pa=0
sin²αt₂²-2pcosαt₂-2pa=0
∴t₁，t₂是方程sin²αt²-2pcosαt-2pa=0的兩根，
∴t₁+t₂=

2pcosα

sin2α

，t₁•t₂=-

2pa

sin2α

t₁²+t₂²=（t₁+t₂）²-2t₁t₂=

4(p2cos2α +pasin2α)

sin4α

∵

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

=

1

t12

+

1

t22

=

t1+t2

(t1•t2)2

=

4(p2cos2α+pasin2α) sin4α

( 2pa sin2α )2

=

pcos2α+asin2α

pa2

為定植，∴a=p

故選D

點評：本題主要考查了利用直線的參數(shù)方程判斷直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于較難題目．