Question

已知函數(shù)f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0，a≠1），且f（0）=0．
（1）求a的值；
（2）若函數(shù)h（x）=

f(x)，x∈[0，1) (2x+1)f(x)+4x+1，x∈[1，2]

，當(dāng)x∈[0，2]時，mh（x）≤2^x+m-1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用代入法，解方程即可得到a=2；
（2）求得h（x）的分段函數(shù)，討論當(dāng)x∈[0，1）時，h（x）-1的值域，由不等式的恒成立即有m≥0；當(dāng)x∈[1，2]時，求出h（x）的值域，運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性求得最小值，即可得到m的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0，a≠1），且f（0）=0，
則1-

4

2a0+a

=0，解得a=2；
（2）f（x）=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

，
則h（x）=

2x-1 2x+1 ，x∈[0，1) 2x+4x，x∈[1，2]

，
當(dāng)x∈[0，1）時，h（x）=1-

2

2x+1

遞增，且h（x）∈[0，

1

3

），
當(dāng)x∈[0，1]時，mh（x）≤2^x+m-1恒成立即為m[h（x）-1]≤2^x-1恒成立，
即2^x-1∈[0，1），h（x）-1∈[-1，-

2

3

），則m≥0；
當(dāng)x∈[1，2]時，h（x）-1=2^x+4^x-1＞0，
當(dāng)x∈[1，2]時，mh（x）≤2^x+m-1恒成立即為m[h（x）-1]≤2^x-1恒成立，
即為m≤

2x-1

2x+4x-1

，
令t=2^x-1∈[1，3]，即有m≤

t

t+(1+t)2

=

1

t+ 1 t +3

，
由t+

1

t

∈[2，

10

3

]，即有m≤

1

3+ 10 3

=

3

19

．
當(dāng)x∈[0，2]時，mh（x）≤2^x+m-1恒成立，
即有0≤m≤

3

19

．

點(diǎn)評：本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，主要考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運(yùn)用換元法和函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．