Question

若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A、B兩點(diǎn)滿足：①點(diǎn)A、B都在函數(shù)f（x）的圖象上；②點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)對（A，B）是函數(shù)f（x）的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對”．點(diǎn)對（A，B）與（B，A）可看作是同一個(gè)“姊妹點(diǎn)對”，已知函數(shù)f（x）=

x2+2x(x＜0) x+1 ex (x≥0)

，則f（x）的“姊妹點(diǎn)對”有 （　�。�

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、3個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：計(jì)算題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意可設(shè)點(diǎn)A（x，y）（x＜0）在f（x）的圖象上，從而可得

y=x2+2x -y= -x+1 e-x

，從而可得方程x²+2x+

1-x

e-x

=0，再構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²+2x+（1-x）e^x，求導(dǎo)確定函數(shù)的大致單調(diào)性，從而由函數(shù)零點(diǎn)的判定定理確定個(gè)數(shù)即可．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)A（x，y）（x＜0）在f（x）的圖象上，
則點(diǎn)B（-x，-y）也在f（x）的圖象上；
故

y=x2+2x -y= -x+1 e-x

；
故x²+2x+

1-x

e-x

=0，
令g（x）=x²+2x+

1-x

e-x

=x²+2x+（1-x）e^x，
g′（x）=2x+2-xe^x，
故可知g（x）在（-∞，0）上先減后增，
且g（-2）=

3

e2

＞0，g（-1）=

2

e

-1＜0，g（0）=1；
且g（x）在（-∞，0）上連續(xù)，
故x²+2x+

1-x

e-x

=0在（-∞，0）上有兩個(gè)解，
故f（x）的“姊妹點(diǎn)對”有2個(gè)；
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生對新定義的接受能力及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，屬于中檔題．