Question

在數(shù)列{a_n}中，a2=

1

4

，且（n-a_n）a_n+1=（n-1）a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想a_n的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（I）利用數(shù)列遞推式，代入計算，即可得到結(jié)論；
（II）根據(jù)（I）的結(jié)論，猜想a_n的表達式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明步驟，證明即可．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，∵a2=

1

4

，∴解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時，an+1=

(n-1)an

n-an

，得a3=

1

7

，a4=

1

10

．    …（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：an=

1

3n-2

（n∈N^*）．…（4分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想．
（1）當(dāng)n=1或2時，猜想顯然成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*且k≥2）時猜想成立，即ak=

1

3k-2

，
那么當(dāng)n=k+1時，ak+1=

(k-1)ak

k-ak

=

(k-1)• 1 3k-2

k- 1 3k-2

=

1

3(k+1)-2

，
所以，n=k+1時猜想也成立．
根據(jù)（1）和（2），可知猜想對任意的n∈N^*都成立．…（7分）

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．