Question

【題目】已知函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù).

（1）證明：在定義域上存在唯一的極大值點；

（2）若存在,使,證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)得,當(dāng)時, ；當(dāng)時,,所以在上遞減,又因為,,判斷出單調(diào)性,即可證明在定義域上存在唯一的極大值點.

（2）假設(shè)存在,使,代入函數(shù)得,整理得.設(shè)新函數(shù),求導(dǎo)結(jié)果大于,在上遞增,再設(shè),則,即,,整理可得,根據(jù)對數(shù)均值不等式得出.

（1）,

當(dāng)時,,,,

“”不能同時取到,所以；

當(dāng)時,,所以在上遞減,

因為,,

所以在定義域存在唯一,使且；

當(dāng)時,；當(dāng)時,,

所以是在定義域上的唯一極值點且是極大值點.

（2）存在,使,即,

得.

設(shè),則,在上遞增,

不妨設(shè),則,即,,

所以,得,

根據(jù)對數(shù)均值不等式,可得,.