Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，試寫出方程根的個(gè)數(shù).(只需寫出結(jié)論)

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）2

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，，求出，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可求出曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2），由在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知在恒成立，進(jìn)而可知在恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出在上的最小值，令即可；

（3）構(gòu)造函數(shù)，討論的單調(diào)性，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，可得到的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為方程根的個(gè)數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，，則，

所以，，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.

（2）由題意，，

因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在恒成立，

即在恒成立，

令，，則，

所以時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

所以在上最小值為，

所以.

（3）當(dāng)時(shí)，方程根的個(gè)數(shù)為2.

證明如下：

當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，

則，顯然在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，，所以存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，所以，所以在上存在唯一零點(diǎn)

又因?yàn)?/span>，所以在上存在唯一零點(diǎn)，

故函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，即方程根的個(gè)數(shù)為2.