如圖,過點(0,a3)(0<a<2)的兩直線與拋物線y=-ax2相切于A,B兩點,AD,BC垂直于直線y=-8,垂足分別為D、C,求矩形ABCD面積的最大值.

【答案】分析:設(shè)切點為(x,y),則y=-ax2,把點(0,a3)代入切線方程求得x=±a,y=-a3,可得AB=2a,BC=8-a3,所以矩形面積為S=16a-2a4(0<a<2 ),由S'=16-8a3,可得當時,S有最大值為
解答:解:設(shè)切點為(x,y),則y=-ax2
因為y'=-2ax,所以切線方程為y-y=-2ax(x-x),即y+ax2=-2ax(x-x),---(2分)
因為切線過點(0,a3),所以a3+ax2=-2ax(0-x),即a3=ax2,于是x=±a.-----(2分)
將代入 y=-ax2 得,y=-a3.-----(2分)
(若設(shè)切線方程為y=kx+a3,代入拋物線方程后由△=0得到切點坐標,亦予認可.)
所以AB=2a,BC=8-a3,所以矩形面積為S=16a-2a4(0<a<2).----(3分)
于是S'=16-8a3.所以當時,S'>0;當時,S'<0;
故當時,S有最大值為.----(3分)
點評:本題主要考查拋物線的標準方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,函數(shù)在某一點的導數(shù)的幾何意義,利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性求函數(shù)的最值.
練習冊系列答案
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(2)若a∈(0,2),求矩形ABCD面積的最大值.

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(1)若a=1,求矩形ABCD面積;
(2)若a∈(0,2),求矩形ABCD面積的最大值.

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