如圖,過點(0,a3)的兩直線與拋物線y=-ax2相切于A、B兩點,AD、BC垂直于直線y=-8,垂足分別為D、C.
(1)若a=1,求矩形ABCD面積;
(2)若a∈(0,2),求矩形ABCD面積的最大值.
分析:(1)設出直線與曲線的切點,求出導數(shù)后寫出切線方程的點斜式,把已知點(0,a3)代入切線方程,求出兩個切點的橫坐標,從而得到矩形ABCD的長和寬,則面積即可用含a的代數(shù)式表示,把a=1代入后可求矩形面積;
(2)對(1)中求出的面積表達式求導,利用導數(shù)判出函數(shù)在(0,2)上的單調性,求出函數(shù)在(0,2)上的極值,則最值可求.
解答:解:(1)設切點為(x0,y0),則y0=-ax02,
因為y'=-2ax,所以切線方程為y-y0=-2ax0(x-x0),即y+ax02=-2ax0(x-x0),
因為切線過點(0,a3),所以a3+ax02=-2ax0(0-x0),即a3=ax02,于是x0=±a.
將x0=±a代入y0=-ax02y0=-a3
所以AB=2a,BC=8-a3,所以矩形ABCD面積為S=16a-2a4
當a=1時,矩形ABCD的面積S=16×1-2×14=14;
(2)由(1)得:矩形ABCD面積為S=16a-2a4(0<a<2),
則S'=16-8a3=8(2-a3).
所以當0<a<
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時,S'>0;當
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<a<2
時,S'<0;
故當a=
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時,S有最大值為S=16×
32
-2×(
32
)4
=12
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點評:本題考查利用導數(shù)求曲線上過某點的切線方程,會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值,是中檔題.
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