已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)若x＞-1,求證:1-≤ln(x+1)≤x.

(1)解：函數(shù)f(x)的定義域為(-1,+∞).

f′(x)=

由f′(x)＜0及x＞-1,得x＞0.

∴當x∈(0,+∞)時,f(x)是減函數(shù)，

即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞).

(2)證明:由(1)知,當x∈(-1,0)時,f′(x)＞0;

當x∈(0,+∞)時,f′(x)＜0.

因此,當x＞-1時,f(x)≤f(0),即ln(x+1)-x≤0.

∴l(xiāng)n(x+1)≤x.

令g(x)=ln(x+1)+-1,則g′(x)=

當x∈(-1,0)時,g′(x)＜0;當x∈(0,+∞)時,g′(x)＞0.

∴當x＞-1時,g(x)≥g(0),即ln(x+1)+-1≥0,即ln(x+1)≥1-.

綜上，可知當x＞-1時,有1-≤ln(x+1)≤x.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數(shù)a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數(shù)．

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