Question

f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，且f（-2）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集為（　�。�

A．（-2，0）∪（2，+∞）

B．（-2，0）∪（0，2）

C．（-∞，-2）∪（2，+∞）

D．（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析：令h（x）=f（x）g（x），依題意可知h（x）=f（x）g（x）為R上的奇函數(shù)，在對(duì)稱區(qū)間上有相同的單調(diào)性，f（-2）=0，從而可求得f（x）g（x）＜0的解集．

解答：解：令h（x）=f（x）g（x），
∵f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
∴h（x）=f（x）g（x）為R上的奇函數(shù)．
又當(dāng)x＜0時(shí)，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，
∴h（x）=f（x）g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
又h（x）=f（x）g（x）為R上的奇函數(shù)，
∴h（x）=f（x）g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
又f（-2）=0，故f（2）=0，

∴當(dāng)-2＜x＜0，或x＞2時(shí)，f（x）g（x）＜0．
故f（x）g（x）＜0的解集為（-2，0）∪（2，+∞）．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查構(gòu)造函數(shù)思想與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．