【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),若在上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若在,處取得極值,且方程在上有唯一解時(shí),的取值范圍為或,求的最大值.
【答案】(1) ;(2).
【解析】
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為通過若在上是單調(diào)函數(shù),對的討論,即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)先求出導(dǎo)函數(shù) ,由在處取得極值,可得.代入解得,此時(shí)導(dǎo)函數(shù)可化為由,可知的單調(diào)性可判斷是在上的極小值,是在上的極大值,要使方程在上有唯一解時(shí),的取值范圍為或只有可能,即求的最大值只需求的最大值即可.由. 令,可知,則有構(gòu)造,利用導(dǎo)數(shù)研究其最值即可.
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為
當(dāng)時(shí),,因?yàn)?/span>所以,所以在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,,則在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí),設(shè),其對稱軸為,若在上是單調(diào)函數(shù),只能使恒成立,則需滿足解得,此時(shí)在上單調(diào)遞減.
綜上得的取值范圍是
(2) .
在處取得極值,.
即,解得
所以可得令,解得,令,解得或.
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
所以是在上的極小值,是在上的極大值.
若使方程只有唯一解的的取值范圍為或,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得只有可能,所以求的最大值只需求的最大值即可.
又.
所以.
記則,則.
令,其導(dǎo)函數(shù)為
當(dāng)時(shí),,故單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,故單調(diào)遞減.
所以的最大值為.所以的最大值為.
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(2)為了幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績,決定在班里成立“二幫一”小組,即從成績[90,100]中選兩位同學(xué),共同幫助[50,60)中的某一位同學(xué),已知甲同學(xué)的成績?yōu)?/span>53分,乙同學(xué)的成績?yōu)?/span>96分,求甲、乙恰好被安排在同一小組的概率.
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