如圖,在橢圓C:中,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓C的左右兩個焦點(diǎn),P為橢圓上且在第一象限內(nèi)的點(diǎn),△PF1F2的重心為G,內(nèi)心為I.
(1)求證:IG∥F1F2
(2)已知A為橢圓C的左頂點(diǎn),直線l過右焦點(diǎn)F2與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),若AM,AN的斜率k1,k2滿足,求直線l的方程.
【答案】分析:(1)欲證IG∥F1F2,因?yàn)镕1,F(xiàn)2在x軸上,只需證明I,G的縱坐標(biāo)相等即可,利用重心的坐標(biāo)公式求出G點(diǎn)的縱坐標(biāo),再借助三角形內(nèi)切圓的性質(zhì),利用面積相等求出I的縱坐標(biāo),比較大小即可.
(2)設(shè)出直線l的方程,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理求出x1+x2,x1x2.代入k1+k2中,化簡即可求出k的值,得到直線l的方程.
解答:解:(1)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)(y>0),而G為△PF1F2
的重心,故而I為△PF1F2的內(nèi)心.
設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r
于是
又a=2,c=1,y>0
,從而I點(diǎn)縱坐標(biāo)為
從而IG∥F1F2
(2)若直線l斜率不存在,顯然k1+k2=0不合題意.
若直線l的斜率存在,過F2(1,O)的設(shè)直線方程為y=k(x-1),直線和橢圓交于M(x1,y1),N(x2,y2)將y=k(x-1)代入3x2+4y2=12中得到:(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0
由韋達(dá)定理可知:
=

從而
即k=2
故所求直線MN方程為:y=2(x-1).
點(diǎn)評:本題主要考查了直線與橢圓位置關(guān)系的判斷,注意韋達(dá)定理的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在橢圓C中,點(diǎn)F1是左焦點(diǎn),A(a,0),B(0,b)分別為右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),點(diǎn)O為橢圓的中心.又點(diǎn)P在橢圓上,且滿足條件:OP∥AB,點(diǎn)H是點(diǎn)P在x軸上的射影.
(1)求證:當(dāng)a取定值時,點(diǎn)H必為定點(diǎn);
(2)如果點(diǎn)H落在左頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)之間,試求橢圓離心率的取值范圍;
(3)如果以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切,且凸四邊形ABPH的面積等于3+
2
,求橢圓的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在橢圓C:
x2
4
+
y2
3
=1
中,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓C的左右兩個焦點(diǎn),P為橢圓上且在第一象限內(nèi)的點(diǎn),△PF1F2的重心為G,內(nèi)心為I.
(1)求證:IG∥F1F2;
(2)已知A為橢圓C的左頂點(diǎn),直線l過右焦點(diǎn)F2與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),若AM,AN的斜率k1,k2滿足k1+k2=-
1
2
,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2008年湖北省武漢市高三四月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖,在橢圓C:中,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓C的左右兩個焦點(diǎn),P為橢圓上且在第一象限內(nèi)的點(diǎn),△PF1F2的重心為G,內(nèi)心為I.
(1)求證:IG∥F1F2;
(2)已知A為橢圓C的左頂點(diǎn),直線l過右焦點(diǎn)F2與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),若AM,AN的斜率k1,k2滿足,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2008年浙江省杭州市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,在橢圓C中,點(diǎn)F1是左焦點(diǎn),A(a,0),B(0,b)分別為右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),點(diǎn)O為橢圓的中心.又點(diǎn)P在橢圓上,且滿足條件:OP∥AB,點(diǎn)H是點(diǎn)P在x軸上的射影.
(1)求證:當(dāng)a取定值時,點(diǎn)H必為定點(diǎn);
(2)如果點(diǎn)H落在左頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)之間,試求橢圓離心率的取值范圍;
(3)如果以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切,且凸四邊形ABPH的面積等于,求橢圓的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案