Question

已知函數(shù)
（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明；
（2）當(dāng)f（x）＜a恒成立時，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數(shù)的定義域為R，
函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
設(shè)x₁，x₂是R內(nèi)任意兩個值，并且x₁＜x₂
則==…（5分）
∵x₁＜x₂∴
∴．
即∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函數(shù)．…（7分）
（2）
∵2^x＞0∴2^x+1＞1
∴，
∴，
∴
即-1＜f（x）＜1…（10分）
當(dāng)f（x）＜a恒成立時，a≥1…（12分）
分析：（1）可得函數(shù)的定義域為R，再利用單調(diào)性的定義，按照取值、作差、變形、定號下結(jié)論的步驟進(jìn)行正面；
（2）將函數(shù)整理為，從而可求出函數(shù)的值域，進(jìn)而可確定實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查單調(diào)性的判斷與證明，考查函數(shù)的值域，考查恒成立問題，屬于中檔題．