Question

已知函數(shù)
（1）試判斷f（x）的單調(diào)性，并說明理由；
（2）若恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）求證：[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2，（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義域，即可確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）如果當x≥1時，不等式恒成立，把k分離出來，再利用導數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，再求出函數(shù)最值即可；
（3）由（2）可得，令x=n（n+1），則，寫出n個式子，疊加即可證明結論．
解答：（1）解：求導函數(shù)，可得=
∵x≥1，∴l(xiāng)nx≥0，∴f′（x）≤0，
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)減
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[1，+∞）．
（2）解：不等式，即為，記，
所以，
令h（x）=x-lnx，則，
∵x≥1，∴h′（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，
從而g′（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也單調(diào)遞增，
∴[g（x）]_min=g（1）=2，所以k≤2
（3）證明：由（2）知：恒成立，即，
令x=n（n+1），則，
所以，，，…，．
疊加得：ln[1×2²×3²×…×n²×（n+1）]=
則1×2²×3²×…×n²×（n+1）＞e^n-2，
所以[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2，（n∈N^*）．
點評：本題考查應用導數(shù)研究函數(shù)的極值最值問題，考查不等式的證明，有關恒成立的問題一般采取分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法．