Question

已知函數f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點P(0,2)，且在點P處有相同的切線y＝4x＋2.

(1)求a，b，c，d的值；

(2)若x≥－2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍．

 

Answer 1

（1）a＝4，b＝2，c＝2，d＝2

（2）[1，e2]

【解析】(1)∵曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點P(0,2)，

∴b＝d＝2.

∵f′(x)＝2x＋a，故f′(0)＝a＝4.

∵g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，

∴g′(0)＝2＋c＝4，故c＝2.

從而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.

(2)令F(x)＝kg(x)－f(x)，則F′(x)＝(kex－1)(2x＋4)，

由題設可得F(0)≥0，故k≥1，

令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2，

①若1≤k＜e2，則－2＜x1≤0，

從而當x∈[－2，x1)時，F′(x)＜0，

當x∈(x1＋∞)時，F′(x)＞0，

即F(x)在[－2，＋∞)上最小值為F(x1)＝2x1＋2－x22－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0，此時f(x)≤kg(x)恒成立；

②若k＝e2，F′(x)＝(ex＋2－1)(2x＋4)，

故F(x)在[－2，＋∞)上單調遞增，

因為F(－2)＝0，所以f(x)≤kg(x)恒成立；

③若k＞e2，則F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，

從而當x∈[－2，＋∞)時，

f(x)≤kg(x)不可能恒成立．

綜上所述k的取值范圍為[1，e2]．