Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，滿足. 數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式;

（2）記集合，若集合的元素個(gè)數(shù)為，求實(shí)數(shù)的取值范圍;

（3）是否存在正整數(shù)使得成立?如果存在，請(qǐng)寫(xiě)出滿足的條件，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），bn=2n；（2）；（3）答案不唯一，見(jiàn)解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即可的的通項(xiàng)公式，由可得，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，即可求出的通項(xiàng)公式；

（2）參變分離，構(gòu)造函數(shù)列，判斷其增減性，即可求出的取值范圍；

（3）假設(shè)存在，根據(jù)數(shù)列為等比數(shù)列，利用公式求出其前項(xiàng)和，對(duì)分類討論．

（1）因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，

而當(dāng)時(shí)，適合上式，所以，因?yàn)?/span>，即

所以數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，所以，所以.

（2）由(1)知，不等式即為

設(shè)

因?yàn)?/span>

而

要使只有2解，則有

（3）假設(shè)存在正整數(shù)，因?yàn)?/span>

所以有若，則不成立，

所以，，若為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，，不成立，.

當(dāng)時(shí)，設(shè)，， 則 .

若q為偶數(shù)，設(shè)，，則，因?yàn)?/span>，所以.

綜上所述，當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，，；

當(dāng)q為偶數(shù)時(shí)，不存在.