Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2﹣x（a∈R）．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）在（1，﹣2）處的切線方程；
（2）當a≤0時，分析函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)y=g（x）的圖象上存在一點P（x0 ， y0），使得以P為切點的切線m將圖象分割為c1 ， c2兩部分，且c1 ， c2分別完全位于切線m的兩側（除了P點外），則稱點x0為函數(shù)y=g（x）的“切割點“．問：函數(shù)f（x）是否存在滿足上述條件的切割點．

Answer 1

【答案】解：（1）當a=1時，函數(shù)f（x）=lnx﹣x2﹣x
的導數(shù)為f′（x）=﹣2x﹣1，
則函數(shù)f（x）在（1，﹣2）處的切線斜率為1﹣2﹣1=﹣2，
即有函數(shù)f（x）在（1，﹣2）處的切線方程為y+2=﹣2（x﹣1），
即為2x+y=0；
（2）函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2﹣x的導數(shù)為f′（x）=﹣2ax﹣1=，（x＞0），
當a=0時，f′（x）=，當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
當a＜0時，令h（x）=﹣2ax2﹣x+1，
當△≤0，即1+8a≤0，a≤﹣時，h（x）≥0恒成立，即有f（x）遞增；
當△＞0，即1+8a＞0，a＞﹣時，由h（x）=0可得x=＞0，
當x＞或0＜x＜時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當＜x＜時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
綜上可得，當a=0時，f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）；
當a≤﹣時，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；
當﹣＜a＜0時，f（x）的增區(qū)間為（0，），（，+∞），
減區(qū)間為（，）．
（3）函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2﹣x的導數(shù)為f′（x）=﹣2ax﹣1=，（x＞0），
當a=0時，f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞），f（1）為最大值，且為﹣1＜0，
即f（x）＜0恒成立．則不存在切割點；
當a＞0時，f′（x）=0解得x=（負的舍去），
當0＜x＜時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當x＞時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（）取得最大，且為負值，則不存在切割點；
當a＜0時，由（2）得當a≤﹣時，f（x）在x＞0時遞增，無最值，則存在切割點；
當﹣＜a＜0時，由于f（x）的增區(qū)間為（0，），（，+∞），
減區(qū)間為（，），無最值，則存在切割點．
綜上可得，當a≥0時，不存在切割點；當a＜0時，存在切割點．
【解析】（1）求出a=1的函數(shù)，求出導數(shù)，求出切線的斜率，由點斜式方程即可得到切線方程；
（2）求出導數(shù)，對a討論，a=0，a＜0，運用判別式結合二次方程的求根公式，解不等式即可得到單調(diào)區(qū)間，注意定義域；
（3）求出導數(shù)，對a討論，a=0，a＞0，由導數(shù)得到單調(diào)區(qū)間，進而得到最大值，即可說明不存在切割點；a＜0，由（2）可得單調(diào)區(qū)間，說明f（x）無最值，則存在切割點．
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．