Question

2010年亞冠聯(lián)賽，山東魯能、廣島三箭、阿德萊德聯(lián)、浦項(xiàng)制鐵分在同一組進(jìn)行循環(huán)賽，已知規(guī)則為每輪勝得3分，平得1分，負(fù)得0分．第一輪在2月24日的比賽中，山東魯能客場(chǎng)l：0戰(zhàn)勝廣島三箭；第二輪主場(chǎng)對(duì)陣阿德萊德聯(lián)；第三輪客場(chǎng)對(duì)陣浦項(xiàng)制鐵．若山東魯能主場(chǎng)勝的概率為

2

3

，負(fù)的概率為

1

12

，客場(chǎng)勝、平、負(fù)是等可能的．假定各場(chǎng)比賽相互之間不受影響．在前三輪中求：
（Ⅰ）山東魯能兩勝一平的概率；
（Ⅱ）山東魯能積分的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）記山東魯能兩勝一平的事件為A，由于第一輪已經(jīng)取勝，則事件A包含第二輪主場(chǎng)勝，第三輪客場(chǎng)平，或第二輪主場(chǎng)平，第三輪客場(chǎng)勝，由此能求出山東魯能兩勝一平的概率．
（Ⅱ）記山東魯能在第二輪和第三輪得分為隨饑變量X，則X的取值為6，4，3，2，1，0，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出山東魯能積分的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）記山東魯能兩勝一平的事件為A，
由于第一輪已經(jīng)取勝，則事件A包含第二輪主場(chǎng)勝，第三輪客場(chǎng)平，或第二輪主場(chǎng)平，第三輪客場(chǎng)勝，
從而P（A）=

2

3

×

1

3

+

1

4

×

1

3

=

11

36

，…（5分）
所以山東魯能兩勝一平的概率為

11

36

．…（6分）
（Ⅱ）記山東魯能在第二輪和第三輪得分為隨饑變量X，
則X的取值為6，4，3，2，1，0，
P（X=6）=

2

3

×

1

3

=

2

9

，
P（X=4）=

2

3

×

1

3

+

1

4

×

1

3

=

11

36

，
P（X=3）=

2

3

×

1

3

+

1

12

×

1

3

=

1

4

，
P（X=2）=

1

4

×

1

3

=

1

12

，
P（X=1）=

1

4

×

1

3

+

1

12

×

1

3

=

1

9

，
P（X=0）=

1

12

×

1

3

=

1

36

，
∴X的分布列為：

X	6	4	3	2	1	0
P	2 9	11 36	1 4	1 12	1 9	1 36

∴X的分布列為：
EX=6×

2

9

+4×

11

36

+3×

1

4

+2×

1

12

+1×

1

9

+0×

1

36

=

43

12

，
∴前三輪山東魯能積分的數(shù)學(xué)期望為

43

12

+3=

79

12

．．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力，是中檔題．