已知雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)的乘積為
3
,直線l過(guò)點(diǎn)F2,且與線段F1F2的夾角為α,tanα=
21
2
,直線l與線段F1F2的垂直平分線的交點(diǎn)為P,線段PF2與雙曲線的交點(diǎn)為Q,且
PQ
=2
QF2
,求雙曲線方程.
分析:設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,和Q的坐標(biāo),過(guò)Q做x軸垂線,垂足為A,|根據(jù),|PQ|:|QF2|=|OA|:|AF|和|OA|+|AF|=c,推斷出:|OA|=
2
3
c=x,|AF2|=
c
3
,進(jìn)而根據(jù)tanα求得y的表達(dá)式,則Q點(diǎn)坐標(biāo)可知,代入橢圓方程同時(shí)利用c2=a2+b2轉(zhuǎn)化成關(guān)于
b2
a2
的方程,求得
b2
a2
的值,進(jìn)而根據(jù)ab=
3
聯(lián)立求得a和b,則雙曲線的方程可得.
解答:解:雙曲線方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1,Q(x,y),F(xiàn)2(c,0),
過(guò)Q做x軸垂線,垂足為A,|PQ|:|QF2|=2:1=|OA|:|AF|,|OA|+|AF|=c,
所以:|OA|=
2
3
c=x,|AF2|=
c
3
,
tanα=
21
2
=
y
|AF|

∴y=
21
c
6
,即:Q(
2
3
C,
21
c
6

代入方程,
4c2
9a2
-
7c2
12b2
=1,
∵c2=a2+b2代入,化簡(jiǎn):
16b2
a2
-
21a2
6b 2
-41=0,
b2
a2
=k,
16k2-41k-21=0,
(k-3)(16k+7)=0,
k=3或-
7
16
(負(fù)舍)
即:
b2
a2
=3,又ab=
3
,解方程組,得
a=1,b=
3

故雙曲線方程為:x2-
y2
3
=1.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解題的關(guān)鍵是盡可能多的從條件中挖掘有效信息,綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí).
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