Question

已知雙曲線C的兩個焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，實(shí)半軸長與虛半軸長的乘積為，直線l過F₂點(diǎn)，且與線段F₁F₂夾角為α，且tanα＝，l與線段F₁F₂垂直平分線的交點(diǎn)為P，線段PF₂與雙曲線的交點(diǎn)為Q，且，求雙曲線方程．

Answer 1

答案：
解析：

　　解析：本題未給出坐標(biāo)系，從雙曲線的對稱性知，可取F₁F₂所在直線為x軸，F(xiàn)₁F₂的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示．設(shè)雙曲線方程為＝1，用待定系數(shù)法求a、b之值．

　　解析：取F₁F₂所在直線為x軸，F(xiàn)₁F₂的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為＝1，設(shè)F₁(－c，0)、F₂(c，0)．

　　由題意直線l的方程為y＝(x－c)，令x＝0，

　　得點(diǎn)P坐標(biāo)為(0，－c)．

　　又，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)Q坐標(biāo)(，)．

　　∵點(diǎn)Q在雙曲線上，∴＝1　�、�

　　又c²＝a²＋b²　　②

　　由①、②消去c，化簡整理得

　　16()⁴－41()²－21＝0，解得＝　　③

　　又由已知有ab＝　�、�

　　由③④得a＝1，b＝，

　　則所求雙曲線方程為＝1．

　　又由對稱性知，雙曲線＝1也適合．

　　故所求雙曲線方程為＝1，或＝1．