【題目】設函數(shù), .

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當時，討論函數(shù)與的圖象的交點個數(shù).

【答案】（1）當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間，當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）兩函數(shù)圖象總有一個交點.

【解析】試題分析：（1）在定義域的前提下對函數(shù)求導,對分類: , .可函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設,本題可轉(zhuǎn)化為求的零點個數(shù)問題,對分類討論即可.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為， ，

當時， ，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間；

當時， ；當時， ，函數(shù)單調(diào)遞減；

當時， ，函數(shù)單調(diào)遞增.

綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間；

當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是.

（2）解：令， ，問題等價于求函數(shù)的零點個數(shù).

當時， ， ，有唯一零點；

當時， ；

當時， ，函數(shù)為減函數(shù)，注意到， ，所以有唯一零點；

當時， 或時， ， 時，所以函數(shù)在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，注意到， ，所以有唯一零點；

當時， 或時， 時，所以函數(shù)在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，注意到，所以，而，所以有唯一零點.

綜上，函數(shù)有唯一零點，即兩函數(shù)圖象總有一個交點.

練習冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)， .

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（3）當時， 恒成立，求的取值范圍.

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