Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（I）求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；

（II）是否存在常數(shù)，使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為和（2）

【解析】試題分析：

(1)由題意可得，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和

(2)不等式等價(jià)于

①當(dāng)時(shí)，令，由函數(shù)的性質(zhì)可得；

②當(dāng)時(shí)，可得，

綜合①②可得： .

試題解析：

（I），

又由題意有： ，

故

此時(shí)， ，

由或，

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和

（說明：減區(qū)間寫為的扣分）．

（II）要恒成立，

即

①當(dāng)時(shí)， ，則要： 恒成立，

令，

再令，

在內(nèi)遞減，

當(dāng)時(shí)， ，

故，

在內(nèi)遞增， ；

②當(dāng)時(shí)， ，則要： 恒成立，

由①可知，當(dāng)時(shí)， ，

在內(nèi)遞增，

當(dāng)時(shí)， ，故，

在內(nèi)遞增， ，

綜合①②可得： ，

即存在常數(shù)滿足題意．