Question

已知點(diǎn)P（x，y）是橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求2x+3y的取值范圍；
（2）求橢圓上的點(diǎn)到直線2x+3y+7

2

=0的最短距離．

Answer 1

分析：由P（x，y）是橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上的動(dòng)點(diǎn)．可設(shè)

x=3cosα y=2sinα

（0≤α≤2π）
（1）2x+3y=6cosα+6sinα=6

2

sin(α+

π

4

)，結(jié)合0≤α≤2π可求范圍
（2）由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=|

2×3cosα+3×2sinα+7 2

4+9

|=|

6 2 sin(α+ π 4 )+7 2

13

|，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求最小值

解答：解：（1）由P（x，y）是橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上的動(dòng)點(diǎn)．
可設(shè)

x=3cosα y=2sinα

（0≤α≤2π）
∴2x+3y=6cosα+6sinα=6

2

sin(α+

π

4

)
∵0≤α≤2π∴

π

4

≤α+ 

π

4

≤

9π

4

∴-1≤sin(α+

π

4

)≤1
∴-6

2

≤2x+3y≤6 

2

（2）由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=|

2×3cosα+3×2sinα+7 2

4+9

|
=|

6 2 sin(α+ π 4 )+7 2

13

|
∵-6

2

≤6 

2

sin(α+

π

4

)≤6

2

∴

2

≤6

2

sin(α+

π

4

)+7

2

≤13

2

∴

26

13

≤d≤ 

26

∴最短距離d=

26

13

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)設(shè)出P的坐標(biāo)（即參數(shù)方程），從而把所求的函數(shù)的取值范圍或最值轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域及最值．