Question

【題目】已知拋物線：，圓：，直線：與拋物線相切于點，與圓相切于點.

（1）若直線的斜率，求直線和拋物線的方程；

（2）設(shè)為拋物線的焦點，設(shè)，的面積分別為，，若，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）：，：；（2）.

【解析】試題分析：（1）第一問，一般先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)直線和圓相切得到b的值. 再利用直線和拋物線方程組的判別式等于零，得到P的值. (2)第（2）問，一般利用函數(shù)的思想求的取值范圍.先要分別計算出，，從而得到函數(shù)，再選擇合適的方法求取值范圍.

試題解析：

（1）由題設(shè)知：，且，

由與相切知，到的距離，得，

∴：.

將與的方程聯(lián)立消得，

其得，

∴：.

綜上，：，：.

（2）不妨設(shè)，根據(jù)對稱性，得到的結(jié)論與得到的結(jié)論相同.

此時，又知，設(shè)，，

由消得，

其得，從而解得，

由與切于點知到：的距離，得則，故.

由得，

故 .

到：的距離為 ，

∴ ，

又，

∴ .

當且僅當即時取等號，

與上同理可得，時亦是同上結(jié)論.

綜上，的取值范圍是.