Question

設(shè)D是函數(shù)y=f（x）定義域內(nèi)的一個區(qū)間，若存在x₀∈D，使f（x₀）=-x₀，則稱x₀是f（X）的一個“次不動點”，也稱f（x）在區(qū)間D上存在次不動點．若函數(shù)f（x）=ax²-3x-a+在區(qū)間[1，4]上存在次不動點，則實數(shù)a的取值范圍是________．

Answer 1

（-∞，]
分析：根據(jù)“f（x）在區(qū)間D上有次不動點”當且僅當“F（x）=f（x）+x在區(qū)間D上有零點”，依題意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax²-2x-a+=0，討論將a分離出來，利用導數(shù)研究出等式另一側(cè)函數(shù)的取值范圍即可求出a的范圍．
解答：依題意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax²-2x-a+=0，
當x=1時，使F（1）=≠0（6分）；
當x≠1時，解得a=（8分），
由a′==0（9分），
得x=2或x=（ ＜1，舍去）（10分），
x（1，2）2（2，4）a′+0-a↗最大值↘（12分），當x=2時，a最大==（13分），
所以常數(shù)a的取值范圍是（-∞，]（14分）．
故答案為：（-∞，]．
點評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用，以及函數(shù)零點和利用導數(shù)研究最值等有關(guān)知識，屬于中檔題．