Question

設D是函數(shù)y=f（x）定義域內(nèi)的一個區(qū)間，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀，則稱x₀是f（x）的一個不動點，也稱f（x）在區(qū)間D上有不動點．
（1）證明f（x）=2^x-2x-3在區(qū)間（1，4）上有不動點；
（2）若函數(shù)f(x)=ax2-x-a+

5

2

在區(qū)間[1，4]上有不動點，求常數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“f（x）在區(qū)間D上有不動點”當且僅當“F（x）=f（x）-x在區(qū)間D上有零點”，令F（x）=f（x）-x=2^x-3x-3在區(qū)間[1，4]上是一條連續(xù)不斷的曲線，利用F（1）•F（4）＜0可確定函數(shù)F（x）=f（x）-x在區(qū)間（1，4）內(nèi)有零點，從而得到結論；
（2）依題意，存在x∈[1，4]，使F(x)=f(x)-x=ax2-2x-a+

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2

=0，討論將a分離出來，利用導數(shù)研究出等式另一側函數(shù)的取值范圍即可求出a的范圍．

解答：解：（1）依題意，“f（x）在區(qū)間D上有不動點”當且僅當“F（x）=f（x）-x在區(qū)間D上有零點”（2分），
F（x）=f（x）-x=2^x-3x-3在區(qū)間[1，4]上是一條連續(xù)不斷的曲線（3分），
F（1）•F（4）=-4×1＜0（4分），
所以函數(shù)F（x）=f（x）-x在區(qū)間（1，4）內(nèi)有零點，f（x）=2^x-2x-3在區(qū)間（1，4）上有不動點（5分）．
（2）依題意，存在x∈[1，4]，使F(x)=f(x)-x=ax2-2x-a+

5

2

=0
當x=1時，使F(1)=

1

2

≠0（6分）；
當x≠1時，解得a=

4x-5

2(x2-1)

（8分），
由a′=

-2x2+5x-2

(x2-1)2

=0（9分），
得x=2或x=

1

2

（

1

2

＜1，舍去）（10分），

x	（1，2）	2	（2，4）
a′	+	0	-
a	↗	最大值	↘

（12分），當x=2時，a最大=

4x-5

2(x2-1)

=

1

2

（13分），
所以常數(shù)a的取值范圍是(-∞，

1

2

]（14分）．

點評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用，以及函數(shù)零點和利用導數(shù)研究最值等有關知識，屬于中檔題．