如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,點O是對角線AC與BD的交點,M是PD的中點,AB=2,∠BAD=60°.
(1)求證:OM∥平面PAB;
(2)求證:平面PBD⊥平面PAC;
(3)當四棱錐P-ABCD的體積等于時,求PB的長.
【解析】(1)證明∵在△PBD中,O,M分別是BD,PD的中點,∴OM是△PBD的中位線,∴OM∥PB.
∵OM?平面PAB,PB?平面PAB,∴OM∥平面PAB.
(2)證明∵底面ABCD是菱形,∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴PA⊥BD.又AC?平面PAC,PA?平面PAC,AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC.∵BD?平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC.
(3)解∵底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°,
∴S菱形ABCD=2××AB×AD×sin 60°=2×2×=2.
∵四棱錐P-ABCD的高為PA,∴×2×PA=,解得PA=.又∵PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,∴PA⊥AB.在Rt△PAB中,PB= ==.
科目:高中數學 來源:2014年高考數學(理)二輪復習專題提升訓練訓練7練習卷(解析版) 題型:選擇題
已知α∈R,sin α+2cos α=,則tan 2α等于( ).
A. B. C.- D.-
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科目:高中數學 來源:2014年高考數學(理)二輪復習專題提升訓練訓練13練習卷(解析版) 題型:解答題
如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點.
(1)證明B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;
(3)設點M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長.
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科目:高中數學 來源:2014年高考數學(理)二輪復習專題提升訓練訓練13練習卷(解析版) 題型:選擇題
已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長與底面邊長相等,則AB1與側面ACC1A1所成角的正弦等于( ).
A. B. C. D.
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科目:高中數學 來源:2014年高考數學(理)二輪復習專題提升訓練訓練12練習卷(解析版) 題型:選擇題
如圖所示,在四邊形A-BCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構成三棱錐A?BCD,則在三棱錐ABCD中,下列命題正確的是( ).
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
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科目:高中數學 來源:2014年高考數學(理)二輪復習專題提升訓練訓練11練習卷(解析版) 題型:解答題
已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形,正視圖是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形,側視圖是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形.
(1)求該幾何體的體積V;
(2)求該幾何體的側面積S.
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科目:高中數學 來源:2014年高考數學(理)二輪復習專題提升訓練訓練10練習卷(解析版) 題型:選擇題
已知各項都為正的等比數列{an}滿足a7=a6+2a5,存在兩項am,an使得=4a1,則的最小值為( ).
A. B. C. D.
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科目:高中數學 來源:2014年高考數學(理)二輪復習專題提升訓練優(yōu)化重組卷3練習卷(解析版) 題型:填空題
等差數列{an}前9項的和等于前4項的和.若a1=1,ak+a4=0,則k=________.
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