Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為．
分別過(guò)，的兩條弦，相交于點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)），且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

Answer 1

(1);(2)詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）根據(jù)條件“右焦點(diǎn)為，離心率為”得到含有的兩個(gè)方程，進(jìn)而求解橢圓方程；（2）通過(guò)直線和直線與橢圓連接方程組，得到四點(diǎn)坐標(biāo)，統(tǒng)一變量，減少字母，然后利用斜率公式證明直線，的斜率之和為定值.在第（2）問(wèn)的運(yùn)算上要注意先化簡(jiǎn)再代入．本題的幾何背景是：在如圖所示的圓中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020651841822.png" style="vertical-align:middle;" />，且，所以．

試題解析：（1）解：由題意，得，，故，
從而，
所以橢圓的方程為．      ①                             5分
（2）證明：設(shè)直線的方程為，   ②
直線的方程為，   ③                                  7分
由①②得，點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為，
由①③得，點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為，                    9分
記，，，，
則直線，的斜率之和為


                               13分

．                                                          16分