【題目】已知等軸雙曲線:的右焦點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)作一條漸近線的垂線且垂足為,.
(1)假設(shè)過(guò)點(diǎn)且方向向量為的直線交雙曲線于、兩點(diǎn),求的值;
(2)假設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線交于、兩點(diǎn),試問(wèn):在軸上是否存在定點(diǎn),使得為常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,試說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)存在,.
【解析】
(1)根據(jù)雙曲線為等軸雙曲線,可求出漸近線方程,再根據(jù)點(diǎn)為過(guò)作一條漸近線的垂線的垂足,以及,可求出雙曲線中的值,借助雙曲線中,,的關(guān)系,得到雙曲線方程.根據(jù)直線的方向向量以及點(diǎn)的坐標(biāo),可得直線的方程,與雙曲線方程聯(lián)立,解出,的值,代入中,即可求出的值.
(2)先假設(shè)存在定點(diǎn),使得為常數(shù),設(shè)出直線的方程,與雙曲線方程聯(lián)立,解,,用含的式子表示,再代入中,若為常數(shù),則結(jié)果與無(wú)關(guān),求此時(shí)的值即可.
(1)設(shè)右焦點(diǎn)坐標(biāo)為,,
雙曲線為等軸雙曲線,則漸近線為,
由對(duì)稱性可知,右焦點(diǎn)到兩條漸近線距離相等,且.
為等腰直角三角形,則由
又等軸雙曲線中,
等軸雙曲線的方程為:.
設(shè),,,為雙曲線與直線的兩個(gè)交點(diǎn),
,直線的方向向量為,
直線的方程為,即
代入雙曲線的方程,可得,
,,
而
(2)假設(shè)存在定點(diǎn),使得為常數(shù),
其中,,,,為雙曲線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo),
①當(dāng)直線與軸不垂直是,設(shè)直線的方程為,
代入雙曲線的方程,可得,
由題意可知,,則有,,
要使是與無(wú)關(guān)的常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng),此時(shí),.
②當(dāng)直線與軸垂直時(shí),可得點(diǎn),,
若,亦為常數(shù).
綜上可知,在軸上是否存在定點(diǎn),使得為常數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)(單位:萬(wàn)元)對(duì)年銷售量(單位:噸)和年利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元)的影響.對(duì)近六年的年宣傳費(fèi)和年銷售量()的數(shù)據(jù)作了初步統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù):
年份 | ||||||
年宣傳費(fèi)(萬(wàn)元) | ||||||
年銷售量(噸) |
經(jīng)電腦模擬,發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)(萬(wàn)元)與年銷售量(噸)之間近似滿足關(guān)系式().對(duì)上述數(shù)據(jù)作了初步處理,得到相關(guān)的值如表:
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),求關(guān)于的回歸方程;
(2)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)與,的關(guān)系為若想在年達(dá)到年利潤(rùn)最大,請(qǐng)預(yù)測(cè)年的宣傳費(fèi)用是多少萬(wàn)元?
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高一舉行了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽,為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)情況,從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù),滿分為)作為樣本(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方圖,已知得分在[50,60),[90,100]的頻數(shù)分別為8,2.
(1)求樣本容量和頻率分布直方圖中的的值;
(2)估計(jì)本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的中位數(shù);
(3)在選取的樣本中,從競(jìng)賽成績(jī)?cè)?/span>分以上(含分)的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生,求所抽取的名學(xué)生中至少有一人得分在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,那么過(guò)兩點(diǎn)的直線與圓的位置關(guān)系是( )
A.相離B.相切C.相交D.隨的變化而變化
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9),在集合A中任取三個(gè)元素,分別作為一個(gè)三位數(shù)的個(gè)位數(shù),十位數(shù)和百位數(shù),記這個(gè)三位數(shù)為a,現(xiàn)將組成a的三個(gè)數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為I(a),按從大到小排成的三位數(shù)記為D(a)(例如a=219,則I(a)=129,D(a)=921),閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,任意輸入一個(gè)a,則輸出b的值為( )
A. 792 B. 693 C. 594 D. 495
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知F為拋物線C:y2=2px(P>0)的焦點(diǎn),過(guò)F垂直于x軸的直線被C截得的弦的長(zhǎng)度為4.
(1)求拋物線C的方程.
(2)過(guò)點(diǎn)(m,0),且斜率為1的直線被拋物線C截得的弦為AB,若點(diǎn)F在以AB為直徑的圓內(nèi),求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等軸雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、在直線上,線段的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)若已知下列所給的三個(gè)方程中有一個(gè)是等軸雙曲線的方程:①;②;③.請(qǐng)推理判斷哪個(gè)是等軸雙曲線的方程,并求出此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng);
(2)現(xiàn)要在等軸雙曲線上選一處建一座碼頭,向、兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物.經(jīng)測(cè)算,從到、從到修建公路的費(fèi)用都是每單位長(zhǎng)度萬(wàn)元,則碼頭應(yīng)建在何處,才能使修建兩條公路的總費(fèi)用最低?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)2018年的高考考生人數(shù)是2015年高考考生人數(shù)的倍,為了更好地對(duì)比該?忌纳龑W(xué)情況,統(tǒng)計(jì)了該校2015年和2018年的高考情況,得到如圖柱狀圖:
則下列結(jié)論正確的是
A. 與2015年相比,2018年一本達(dá)線人數(shù)減少
B. 與2015年相比,2018年二本達(dá)線人數(shù)增加了倍
C. 2015年與2018年藝體達(dá)線人數(shù)相同
D. 與2015年相比,2018年不上線的人數(shù)有所增加
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