Question

（1）極坐標(biāo)方程分別為ρ=2cosθ和ρ=sinθ的兩個(gè)圓的圓心距為    ；
（2）如果關(guān)于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是    ；
（3）如圖，AD是⊙O的切線，AC是⊙O的弦，過(guò)C作AD的垂線，垂足為B，CB與⊙O相交于點(diǎn)E，AE平分∠CAB，且AE=2，則AC=    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出兩圓心的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距．
（2）由絕對(duì)值的意義可得|x-3|-|x-4|的最小值為-1，若關(guān)于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，
則應(yīng)有a＞-1．
（3）由于AE平分∠CAB，設(shè)∠EAB=∠CAE=θ，則∠ACB=θ，三角形ACE中，利用正弦定理求出AC的值．
解答：解：（1）ρ=2cosθ 即 ρ²=2ρcosθ，x²+y²=2x，即 （x-1）²+y²=1，
表示以M（1，0）為圓心、半徑等于1的圓．
ρ=sinθ 即 ρ²=ρsinθ，x²+y²=y，即 ，表示以N（0，）為圓心、半徑等于的圓．
兩個(gè)圓的圓心距為MN==．
故答案為 ．
（2）由于|x-3|-|x-4|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到4對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，
故|x-3|-|x-4|的最小值為-1，若關(guān)于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，則應(yīng)有a＞-1．
故答案為a＞-1．
（3）由于AE平分∠CAB，設(shè)∠EAB=∠CAE=θ，則∠ACB=θ．
直角三角形ABC中，由于∠ABC=，∴∠EAB+∠CAE+∠ACB=，∴3θ=，θ=．
三角形ACE中，∠AEC=π-∠EAC-∠ECA=π-2θ=，再由正弦定理可得，
即，解得 AC=2，
故答案為 2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，絕對(duì)值不等式的解法，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．