Question

（1）極坐標(biāo)方程分別為ρ=2cosθ和ρ=sinθ的兩個(gè)圓的圓心距為

5

2

；
（2）如果關(guān)于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

a＞-1

；
（3）如圖，AD是⊙O的切線，AC是⊙O的弦，過C作AD的垂線，垂足為B，CB與⊙O相交于點(diǎn)E，AE平分∠CAB，且AE=2，則AC=

2

3

．

Answer 1

分析：（1）把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出兩圓心的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距．
（2）由絕對(duì)值的意義可得|x-3|-|x-4|的最小值為-1，若關(guān)于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，
則應(yīng)有a＞-1．
（3）由于AE平分∠CAB，設(shè)∠EAB=∠CAE=θ，則∠ACB=θ，三角形ACE中，利用正弦定理求出AC的值．

解答：解：（1）ρ=2cosθ 即 ρ²=2ρcosθ，x²+y²=2x，即 （x-1）²+y²=1，
表示以M（1，0）為圓心、半徑等于1的圓．
ρ=sinθ 即 ρ²=ρsinθ，x²+y²=y，即 x2+(y-

1

2

)2= 

1

4

，表示以N（0，

1

2

）為圓心、半徑等于

1

2

的圓．
兩個(gè)圓的圓心距為MN=

1+ 1 4

=

5

2

．
故答案為

5

2

．
（2）由于|x-3|-|x-4|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到4對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，
故|x-3|-|x-4|的最小值為-1，若關(guān)于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，則應(yīng)有a＞-1．
故答案為a＞-1．
（3）由于AE平分∠CAB，設(shè)∠EAB=∠CAE=θ，則∠ACB=θ．
直角三角形ABC中，由于∠ABC=

π

2

，∴∠EAB+∠CAE+∠ACB=

π

2

，∴3θ=

π

2

，θ=

π

6

．
三角形ACE中，∠AEC=π-∠EAC-∠ECA=π-2θ=

2π

3

，再由正弦定理可得

AE

sin π 6

= 

AC

sin 2π 3

，
即

2

1 2

=

AC

3 2

，解得 AC=2

3

，
故答案為 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，絕對(duì)值不等式的解法，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．