Question

（2012•梅州一模）已知向量

m

=（sinx，-1），向量

n

=（

3

cosx，-

1

2

），函數(shù)f（x）=（

m

+

n

）•

m

．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，A為銳角，a=2

3

，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，求A，b和△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（1）由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)的降次公式、輔助角公式，將函數(shù)化簡(jiǎn)整理得f（x）=sin（2x-

π

6

）+2，由此不難用三角函數(shù)的周期公式，求出f（x）的最小正周期T；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，得到f（x）在x=

π

3

時(shí)取得最大值，從而得到A=

π

3

，在△ABC內(nèi)用余弦定理列出關(guān)于邊b的方程，解之即得b的值，最后用面積正弦定理的公式可求出△ABC的面積S．

解答：解：∵向量

m

=（sinx，-1），向量

n

=（

3

cosx，-

1

2

），
∴

m

+

n

=（sinx+

3

cosx，-

3

2

），
由此可得f（x）=（

m

+

n

）•

m

=sinx（sinx+

3

cosx）+

3

2

=sin²x+

3

sinxcosx+

3

2

∵sin²x=

1-cos2x

2

，sinxcosx=

1

2

sin2x
∴f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+2=sin（2x-

π

6

）+2
（1）根據(jù)三角函數(shù)的周期公式，得周期T=

2π

2

=π；
（2）f（A）=sin（2A-

π

6

）+2，當(dāng)A∈[0，

π

2

]時(shí)，f（A）的最大值為f（

π

3

）=3
∴銳角A=

π

3

，根據(jù)余弦定理，得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，可得b²+c²-a²=bc
∵a=2

3

，c=4，
∴b²+16-12=4b，解之得b=2
根據(jù)正弦定理，得△ABC的面積為：S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×4sin

π

3

=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題以向量的數(shù)量積運(yùn)算為載體，著重考查了三角函數(shù)的降次公式、輔助角公式和用正余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．