Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn)．

（1）證明：DN∥平面PMB；
（2）證明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求點(diǎn)A到平面PMB的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取PB中點(diǎn)Q，連接MQ、NQ，

因?yàn)镸、N分別是棱AD、PC中點(diǎn)，

所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．

DN∥平面PMB

（2）解： PD⊥MB

又因?yàn)榈酌鍭BCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，且M為AD中點(diǎn)，

所以MB⊥AD．

又AD∩PD=D，

所以MB⊥平面PAD. 平面PMB⊥平面PAD

（3）解：因?yàn)镸是AD中點(diǎn)，所以點(diǎn)A與D到平面PMB等距離．

過點(diǎn)D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．

故DH是點(diǎn)D到平面PMB的距離. ．

∴點(diǎn)A到平面PMB的距離為 ．

【解析】（1）取PB中點(diǎn)Q，連接MQ、NQ，再加上QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ，再利用直線與平面平行的判定定理進(jìn)行證明，即可解決問題；（2）易證PD⊥MB，又因?yàn)榈酌鍭BCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，且M為AD中點(diǎn)，然后利用平面與平面垂直的判定定理進(jìn)行證明；（3）因?yàn)镸是AD中點(diǎn)，所以點(diǎn)A與D到平面PMB等距離，過點(diǎn)D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB，DH是點(diǎn)D到平面PMB的距離，從而求解．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．