Question

10．某同學(xué)上學(xué)途中必須經(jīng)過A，B，C，D四個交通崗，其中在A，B崗遇到紅燈的概率均為$\frac{1}{2}$，在C，D崗遇到紅燈的概率均為$\frac{1}{3}$．假設(shè)他在4個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，X表示他遇到紅燈的次數(shù)．
（1）若X≥3，就會遲到，求張華不遲到的概率；
（2）求X的分布列及EX．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)排列組合公式計算P（X=3），P（X=4），使用對立事件公式得出不遲到的概率；
（2）依次計算X取各種可能取值的概率，得出分布列，代入公式計算數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）P（X=3）=C${\;}_{2}^{1}$（$\frac{1}{2}$）²（$\frac{1}{3}$）²+C${\;}_{2}^{1}$（$\frac{1}{2}$）²$•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=4）=（$\frac{1}{2}$）²（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{36}$，
∴P（X≤2）=1-P（X=3）-P（X=4）=$\frac{29}{36}$．
∴張華不遲到的概率為$\frac{29}{36}$．
（2）X的可能取值為0，1，2，3，4．
$P（{X=0}）={（{\frac{1}{2}}）^2}{（{1-\frac{1}{3}}）^2}=\frac{1}{9}$，$P（{X=1}）=C_2^1{（{\frac{1}{2}}）^2}{（{1-\frac{1}{3}}）^2}+{（{\frac{1}{2}}）^2}C_2^1（{\frac{1}{3}}）（{1-（{\frac{1}{3}}）}）=\frac{1}{3}$，
$P（{X=2}）=1-（{\frac{1}{9}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{36}}）=\frac{13}{36}$，又P（X=3）=$\frac{1}{6}$，P（X=4）=$\frac{1}{36}$．
∴X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{36}$

∴EX=0×$\frac{1}{9}$+1×$\frac{1}{3}$+2×$\frac{13}{36}$+3×$\frac{1}{6}$+4×$\frac{1}{36}$=$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了排列組合公式，概率計算，分布列及數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．